Немного физики вокруг динамика

Динамик на подвижной пластине («виброплате»)

1. Введение

Здесь рассмотрена одномерная модель колебаний диффузора динамика на подвесе (пластине), подвижном относительно неподвижного ящика АС. Подвес такой пластины характеризуется упругостью и трением.

В исходной статье, кроме виброплаты, применяется дополнительный пропеллер, заменяющий ФИ. Такую акустику назвали Торнадо. Здесь рассматривается модель АС с виброплатой, но без пропеллера (с обычным ФИ). Приводится также программа для расчета в пакете Mathematicа. Кроме того, настройкой параметров можно превратить модель в вариовент (порт ФИ с дополнительным трением воздуха), а также в пассивный излучатель.

Обсуждение «Торнадо» на форуме Audioportal.

1. Единицы измерения

Везде будет использоваться система единиц СИ (кг, метр, секунда). Основные параметры динамика выражаются в этих величинах – гибкость подвеса [Cms]=м/Н, механические потери в повесе [Rms]=кг/с, масса диффузора [Mms]=кг, площадь диффузора [Sd]=кв.метр. Электрические величины измеряются в также в СИ (вольтах, амперах, омах, теслах, кулонах и фарадах).

Для комплексных величин выбрана зависимость от времени в виде . В некоторых книжках используют частоту со знаком плюс. В этом случае в комплексных выражениях в данной статье необходимо поменять знак у мнимой части на противоположный.

2. Модель

На рис. 1 показан ящик с трубой, в котором колеблется диффузор массы Mms, имеющий площадь , установленный в подвижной пластине. Мы будем считать, что диффузор колеблется не изгибаясь как поршень (что тоже является условным приближением). На диффузор действует сила упругости подвеса, пропорциональная смещению относительно корзины:

Сила упругости подвеса = - (x-k*y)/Cms,

где 1/Cms – коэффициент пропорциональности. Величина Cms называется гибкостью подвеса.

k=1 – некоторый коэффициент, смысл которого будет ясен позже.

Внешней силой является сила Ампера, возникающая под действием тока в магнитном поле:

I – величина тока в катушке, BL – произведение магнитного поля на длину провода в катушке (Ампер* метр).

По аналогии с силой трения, потери в подвесе представляются как скорость, умножить на коэффициент пропорциональности Rms.

Рис. 1

Пусть диффузор сместился на величину х относительно начального положения, пластина сместилась на величину у, а воздух в трубе переместился на величину (см. Рис. 1). Адиабатическое изменение давление воздуха внутри ящика связано с изменением объема и величинами смещений следующим образом:

где r - плотность воздуха, c – скорость звука, и - площади диффузора, и сечения трубы. Изменение давления приводит к дополнительной силе, действующей на диффузор, равной произведению изменения давления на площадь диффузора (с наружной стороны диффузора для простоты давление воздуха считаем пока постоянным и равным атмосферному). Необходимо отметить, что линейная упругость воздуха в ящике опять лишь приближение в самом простейшем случае.

Уравнение колебаний только диффузора массой записывается тогда в виде:

(1)

Уравнение колебаний подвижной пластины массой аналогично имеет вид:

(2)

В уравнении (2) сила упругости и сила трения со стороны диффузора уже направлена в противоположную сторону. Кроме того, добавлена собственная упругость и сила трения подвеса пластины относительно корпуса АС.

Обозначим объемные смещения как:

(3)

(3’)

Разделим уравнение (1) на с учетом (3):

(4)

Аналогично для уравнения (2) после деления на Sp:

(5)

Сила тока определяется из уравнения, в которое входит относительное смещение диффузора по отношению к пластине (т.е. величина x-y):

(6)

В результате уравнения движения диффузора и пластины будут иметь вид

(7)

(8)

[Заметим, что в случае жесткой пластины () уравнение (8) нужно опустить, а уравнение (7) превращается в классическое уравнение динамика в оформлении ящик + труба:

]

В дальнейшем дифференциальные уравнения движения могут решаться различными способами:

Способ 1. Задать синусоидальное значение напряжение, решить уравнение численным методом на компьютере ( например, методом Рунге-Кутта) и построить график в зависимости от частоты.

Способ 2. То же самое что в способе 1, но на вход подать реальный музыкальный сигнал (например, WAV) , построить отклик, записать в WAV, послушать через наушники результат.

Способ 3. Воспользоваться Фурье преобразованием.

Для простоты мы дальше будем следовать способу 3. Для гармонических колебаний взятие производной равносильно умножению на круговую частоту, т.е.

, .

Чтобы «замкнуть» систему уравнений, необходимо связать давление на входе трубы с объемной скоростью в трубе. По определению, эта связь выражается через акустическое сопротивление:

(9)

Z называется акустическим сопротивлением. В общем случае акустическое сопротивление является комплексным:

(10)

Комплексная часть отвечает за инерцию воздуха в трубе, а чисто действительная часть – за потери энергии на излучение из трубы. Можно показать, что для короткой трубы и для длин волн, превышающих ее радиус a и длину L:

(11)

Здесь - потери в порту на трение.

В результате окончательно получаем линейную систему трех уравнений относительно q, и :

(12)

Можно выписать общее решение системы (12), однако оно довольно громоздко. Удобно далее воспользоваться мощным вычислительным пакетом Mathematicа, который позволяет решать уравнения в символьном виде и строить графики. Уравнения (12) были введены в эту программу, можно скачать соответствующий файл:

Скачать проект в формате MAthematica 5.0 (версия 2)

Сайт производителя Mathematica

Зачем был нужен коэффициент k=1 в уравнениях? Его смысл – превратить модель в модель пассивного излучателя. Для этого надо положить k=0.

Этот коэффициент, таким образом, учитывает взаимное взаимодействие между диффузором и пластиной через электромагнитную силу, силу упругости подвеса динамика и трение в нем.

4. Верификация расчета

В предельном случае (масса пластины равна бесконечности, гибкость подвеса равна нулю) – должно получатся решение, соответствующее обычной системе типа ЗЯ или ФИ.

Пример (закрытый ящик), динамик JBL 123A

V=0.160; Объем колонки [куб. метр];

rho=1.2; Плотность воздуха [кг/куб м];

c=340; Скорость звука;

Параметры динамика;

Mms=0.056; [кг];

Cms=0.00071; [метр/ньютон];

Rms=1.27; [Ньютон * сек/ метр];

Bl=9.8; [Тл *метр];

Sd=0.049; площадь диффузора [кв м];

RE=5.5; сопротивление катушки [Ом];

Rg=0; выходное сопротивление источника [Ом];