Моделирование акустики на компьютере

 

1.     Введение

 

В данной статье я попытался достаточно просто и понятно изложить на   физическом уровне расчет НЧ акустического оформления динамика. Первоначально я написал этот материал для себя, чтобы разобраться.

В настоящее время существует много компьютерных программ, позволяющих  рассчитать акустическое оформление. Сложности появляются, когда возникает интерес к нестандартной системе.

Разобравшись в основных понятиях, статья позволяет проанализировать различные акустические оформления.

 

2.     Единицы измерения

 

Везде будет использоваться система единиц СИ (кг, метр, секунда). Основные параметры динамика выражаются в этих величинах – гибкость подвеса [Cms]=м/Н, механические потери в повесе [Rms]=кг/с, масса диффузора [Mms]=кг, площадь диффузора [Sd]=кв.метр. Электрические величины измеряются в также в СИ (вольтах, амперах, омах, теслах, кулонах и фарадах).

Для комплексных величин выбрана зависимость от времени в виде . В некоторых книжках используют частоту со знаком плюс. В этом случае в комплексных выражениях для акустических сопротивлений в данной статье необходимо поменять знак у мнимой части на противоположный.

 

3.     Модель упругого маятника

 

Рассмотрим колебания маятника массы m на пружине жесткостью k под действием внешней силы F  (Рис.1).

 

Рис. 1

 

Считаем, что на маятник действует сила трения, пропорциональная скорости маятника (это всего лишь приближение). Колебание такой системы описывается уравнением (точка сверху обозначает производную по времени):

 

На рис. 2 обозначен ящик с трубой, в котором колеблется диффузор массы Mms, имеющий площадь Sd. Мы будем считать, что диффузор колеблется не изгибаясь как поршень (что тоже является условным приближением). На диффузор действует сила упругости подвеса, пропорциональная смещению:

Сила упругости = - x/Cms,

где 1/Cms – коэффициент пропорциональности. Величина Cms называется гибкостью подвеса. Внешней силой является сила Ампера, возникающая под действием тока в магнитном поле:                         

F=BLI

I – величина тока в катушке, BL – произведение магнитного поля на длину провода в катушке (Ампер* метр).

По аналогии с силой трения, потери в подвесе представляются как скорость диффузора , умножить на коэффициент пропорциональности Rms.

 

Рис. 2

 

Пусть диффузор сместился на величину х относительно начального положения, а воздух на входе в трубу переместился на величину  (см. Рис. 2). Адиабатическое изменение давление воздуха внутри ящика связано с изменением объема и величиной смещений следующим образом:

 

где r - плотность воздуха, c – скорость звука, и   - площади диффузора и сечения трубы. Изменение давления приводит к дополнительной силе, действующей на диффузор, равной произведению изменения давления на  площадь диффузора  (с наружной стороны диффузора для простоты давление воздуха считаем пока постоянным и равным атмосферному). Необходимо отметить, что линейная упругость воздуха в ящике опять лишь приближение в самом простейшем случае. 

Уравнение колебаний диффузора записывается тогда в виде:

 

Обозначим также

и   .

Разделим уравнение колебаний на , и с учетом веденных обозначений, перепишем его в виде:

 

 

 

Величина силы тока в катушке динамика зависит от ЭДС генератора сигнала E, омического сопротивления катушки Re и внутренним сопротивлением генератора Rg:

Последний член в уравнении для тока учитывает ЭДС индукции, возникающую в катушке, движущейся с заданной скоростью поперек магнитного поля. Исключая ток, получим окончательно уравнение колебаний диффузора в виде:

 

В акустике доказывается, что изменение давление на входе трубы связано с объемной скоростью на входе трубы (для этого необходимо решить волновое уравнение в трубе с заданными граничными условиями, которое рассмотрим в следующем разделе), то есть

Z называется акустическим сопротивлением. В общем случае Z является комплексной величиной. Ее действительная часть обусловлена переносом энергии через трубу, а мнимая часть – кинетической энергией колебаний воздуха в трубе (или другом аналогичном элементе), не сопровождающимися потерей энергии.

Если под q и  понимать электрические заряды на обкладках электрического конденсатора, а под dP – электрический потенциал, то легко видеть, что последние два уравнения описывают колебания зарядов в цепи на Рис. 3. 

Рис. 3. Эквивалентная схема динамика в ящике с трубой

 

где

,

,

,

,

.

 

Таким образом, рассчитать акустическое оформление динамика в ящике с трубой можно с помощью эквивалентной электрической цепи.

Искомой величиной расчета является величины  и , вторая производная которых по времени определяет излучение системы в окружающее пространство.  Последняя величина показывает объемное смещение на выходе трубы. Можно показать, что если труба короткая, то . В самом общем случае колебания воздуха на входе и выходе трубы отличаются, также в общем случае необходимо учитывать геометрическое расположение выхода трубы.

 

 

4.     Моделирование закрытого ящика в электронном симуляторе Electronics Workbanch

 

В качестве первого и самого простого примера рассмотрим моделирование закрытого ящика. Для ЗЯ на эквивалентной схеме цепь с сопротивлением Z отсутствует. Выберем для примера НЧ динамик фирмы SEAS H250 с параметрами:

 

Mms=0.036 кг, Vas=190 литров, Rms=1.6 Н*cек/м, Sd=0.035 кв.м.,

Re=5.9 Ом, BL=9.5 А*м.

 

Пусть объем ящика V=200 литров и Rg=2 ома.

 

 Соответственно

Ro=(9.5)^2/((2+5.9)*0.035*0.035)=9326 ом

Mas=0.036/(0.035*0.035)=29.39 Гн

Сas=0.035*0.035*0.0012=0.00000147=1.47 мкф

Cav=0.2/(1.3*336*336)=0.00000136=1.36 мкф

Ras=1.6/(0.035*0.035)=1306 ом

 

Рис. 4 Схема для моделирования ЗЯ

 

 

Поскольку излучение пропорционально производной по времени от объемной скорости, то  снимаем сигнал  с маленького резистора 1 ом через дифференцирующую цепь. 

 

 

 

 

Рис.5 АЧХ и ФЧХ Seas H250 в закрытом ящике

 

Как видно из Рис. 5, нижняя граничная частота по уровню – 3 дб составляет примерно 40 Гц.

 Куда интереснее подключить на выход виртуальный осциллограф, и посмотреть на прохождение прямоугольных импульсов. И такие сигналы мы слушаем вместо настоящего баса!

 

 

Частота 200 Гц

 

 

Частота 100 Гц

 

 

Частота 50 Гц.

 

Рис. 6. Переходная характеристика

 

 

5.     Задняя стенка из N отверстий

 

В качестве следующего примера рассмотрим оформление, в котором задняя стенка ящика имеет N одинаковых отверстий радиусом a и площадью . Можно показать, что акустическое сопротивление одного отверстия для длин волн, превышающих диаметр отверстия, равно (k=w / с):

 

Размер отверстия считаем достаточно малым, но не настолько, чтобы проявлялась вязкость течения воздуха.

 С учетом того, что k=w / с:

    

,          

 

Следовательно, по определению акустического сопротивления, изменение давления на входе отверстия можно представить как

 

Обозначая через суммарное объемное смещение во всех отверстиях, влияние отверстий на давление в ящике записывается в виде:

 

 

Интересно отметить, что для одного отверстия действительная часть Z не зависит от диаметра отверстия, в то время как мнимая часть убывает с ростом площади отверстия.

Проводя опять аналогию с электрической цепью, в которой протекает заряд Q, нетрудно видеть, что комплексная часть акустического сопротивления имеет такой же вид, как индуктивность с величиной . Поэтому на эквивалентной схеме (Рис. 3) эта часть сопротивления превращается в индуктивность.

Действительная часть Z зависит от частоты. Чтобы учесть частотную зависимость, вспомним, что для гармонических колебаний умножение на частоту равносильно взятию производной по времени:

Поэтому последнее уравнение можно переписать в виде:

 

 

Рис. 7.  Эквивалентная схема c задней стенкой из многих отверстий

 

C учетом сказанного, эквивалентная схема представлена на Рис.7. Потери моделируются в виде сопротивления, значение которого зависит от второй производной тока. Коэффициент пропорциональности 

 

.

 

Индуктивность в цепи равна

.

 

В реальности оказывается, что действительная часть акустического сопротивления отверстий мала, чтобы существенно влиять на АЧХ.   Путь имеется всего только одно отверстие (N=1), тогда на частоте 50 Гц

 

 

На частоте 100 Гц – 244 ом, и тд. Такое малое значение сопротивления практически не влияет на АЧХ. Поэтому реально задняя стенка с множеством отверстий достаточно большого диаметра не является панелью акустического сопротивления на НЧ! Система отверстий получается равносильна системе с фазоинвертором, частота настройки которого определяется индуктивной частью сопротивления отверстий. Для реализации же ПАС необходима система, в которой течение через маленькие отверстия существенно зависит от вязкости воздуха.

 

Замечание: Точно такое же сопротивление потерь как у отверстия действует со стороны передней части диффузора. На эквивалентной схеме поэтому, строго говоря, необходимо добавить его значение к величине Ro, которое значительно больше. Поэтому активным сопротивлением излучения можно пренебречь.

 

Пример:   Динамик 6Гд2 в ящике 400 литров

Mms=0.014 кг, Sd=0.032 кв.м., Cms=0.0015 м/Н, Rms=0.52, BL=5.1 Т*м, Vas=220 л. Re=5.5 ом

 

Выберем ящик V=400 литров и Rg=0.

 

Соответственно

Mas=0.014/(0.032*0.032)=13.4 Гн

Сas=0.0015*0.032*0.032=0.00000154=1.54 мкф

Cav=0.4/(1.3*336*336)=0.0000027=2.7 мкф

Ras=0.52/(0.032*0.032)=508 ом

Ro=5.1*5.1/((5.5)*0.032*0.032)=4618 ом

 

Собираем схему, показанную на следующем рисунке:

Рис. 8.  Моделирование АС c задней стенкой с отверстием

 

В указанной схеме активная часть сопротивления опущена. Два трансформатора используются для сложения сигналов от передней части диффузора и заднего отверстия. Мы также пренебрегаем отставанием фазы и ослаблением сигнала от заднего отверстия до передней плоскости колонки, которое малосущественно на НЧ.

Частоту настройки резонанса ящик-отверстие выбираем 24  Гц (за счет соответствующего выбора площади заднего отверстия, то есть значения Las). Для заданной частоты настройки  Las=16.3 Гн и требуемый радиус отверстия равен:

 

(В принципе, это слишком мало для такой большой площади диффузора – воздух будет иметь высокую скорость, но не будем на этом останавливаться. В системе с трубой можно увеличить диаметр трубы и соответственно увеличить диаметр трубы).На след. рисунке представлены расcчитаные АЧХ и ФЧХ системы:

 

 

Рис. 9 АЧХ и ФЧХ для 6гд2 в ящике 400 литров с отверстием

 

Для подтверждения результата приведем расчет АЧХ типа ФИ при тех же параметрах настройки (24 Гц), полученных в специальной программе расчета акустических систем UniBox.

 

 

Рис.10. Расчет в Unibox

 

Легко видеть, что графики АЧХ совпадают. Таким образом, без обращения к сложной программе мы получили тот же результат сами, исходя из требуемых  физических представлений о работе акустического излучателя.

Далее показаны импульсы, в которые превращается прямоугольник.

 

 

Частота 100 Гц

 

    

 

                                                       Частота 50 Гц

 

 

Частота 25 Гц

Рис. 11 Прохождение прямоугольного сигнала

 

Обратите внимание на «затянутый» горб на низких частотах. Интересно сравнить результаты с обыкновенным закрытым ящиком того же объема, в котором такой горб отсутствует:

 

 

Рис. 12 АЧХ и ФЧХ в ЗЯ того же объема

 

 

100 Гц (ЗЯ того же объема)

 

 

50 Гц (ЗЯ того же размера)

 

 

25   Гц в ЗЯ того же размера

 

Рис. 13 Прямоугольные импульсы в закрытом ящике.

 

Вернемся к вопросу о влиянии излучения из отверстия (действительная часть акустического сопротивления).   Коэффициент пропорциональности для активной части акустического сопротивления на схеме Рис.7 равен:

 

 

Схема для моделирования по экв. схеме Рис. 7 показана на след. рисунке

 

Рис. 14. Учет излучения отверстия

 

На следующем рисунке показана АЧХ и ФЧХ системы. Эффект потерь на излучение настолько мал, что АЧХ практически не отличается.

 

 

Рис. 15. АЧХ и ФЧХ с учетом активного сопротивления отверстия.

 

При использовании многих отверстий активное сопротивление еще меньше, и эффект только уменьшается. 

 

6.     Панель акустического сопротивления

 

Если динамик имеет высокую добротность и его сложно использовать в закрытом ящике (требуется слишком большой объем ящика), то можно попробовать реализовать ПАС.

Как было показано выше, активная часть сопротивления излучения отверстий на задней панели ящика недостаточна для существенного изменения формы АЧХ на нижних частотах. Влияния активного сопротивления излучения можно ожидать на более высоких частотах (например, при реализации СЧ – секции), либо при таком диаметре отверстий, при котором течение воздуха существенно определяется его вязкостью.

Предположим, что материал задней стенки состоит из многих очень маленьких отверстий, или мелких волокон ткани. Для простоты примем, что это равносильно многим тонким трубочкам,  масса воздуха в которых мала (индуктивное сопротивление мало), но существенны потери на трение. Течение по тонкой трубке описывается законом Пуазейля:

 

h - коэффициент вязкости, DP – перепад давления на трубке длины l. Если трубочек много и они различной длины и диаметра, то происходит усреднение объемных скоростей,  поскольку каждое течение пропорционально перепаду давления, то суммарная объемная скорость через трубочки  будет опять пропорциональна давлению. Поэтому примем, что общая объемная скорость пропорциональна давлению и коэффициент пропорциональности действителен:

Тогда система может быть проанализирована по модели на Рис.7, в которой Z – активное сопротивление.

Рассмотрим в качестве примера динамик 6гд2 в ящике относительно малого объема 100 литров, к тому же работающий совместно с усилителем с высоким выходным сопротивлением 2 ома. В этом случае Cas=0.68 мкф, Ro=5.1*5.1/((5.5+2)*0.032*0.032)=3387 ом

 

 

Рис. 16 Расчет ПАС

 

В зависимости от сопротивления ПАС, получаются различные АЧХ. Если сопротивление ПАС равно бесконечности, то на АЧХ образуется горб. Подбором сопротивления ПАС можно убрать этот горб.

 

 

                      Сопротивление ПАС равно бесконечности (закрытый ящик)

 

 

Z=4 ком

 

 

Z=1 ком

 

Рис. 17 АЧХ ПАС

 

Для рассматриваемого примера оптимальное сопротивление примерно 4 ком. Чем меньше сопротивление, тем лучше условия работы динамика в ящике, но и тем больше излучение обратной стенки и его влияние на общую АЧХ. Когда сопротивление ПАС равно нулю, система превращается в открытый ящик.

Учтем теперь комплексную часть излучения задней стенки. Ящик + отверстия в задней стенке представляет собой резонатор Гельмгольца. В нашей модели это выражается в дополнительной индуктивности в цепи ПАС, равной

.

Пусть, например, на задней стенке имеется 4 отверстия радиусом 10 см. Тогда Las=0.88 Гн. Если бы активного сопротивления ПАС не было бы, то мы бы получили вот такую АЧХ с горбиком на частоте резонанса примерно 200 Гц (добавляем в эквивалентную схему выше индуктивность 0.88 Гн, а сопротивление резистора принимаем равным нулю).

 

:

 

Рис. 18 Учет индуктивности отверстия

 

Если теперь закрыть отверстия материалом, обладающим активным сопротивлением потерь (то есть ПАС), то АЧХ выравнивается:

 

 

Рис.19 Индуктивность отверстия + ПАС 6гд2 + ящик 100 литров + 4 отверстия d=20 cм на задней стенке, закрытых ПАС (эквивалентное сопротивление 4 ком)

 

Данный простейший расчет показывает, что для ПАС можно провести компьютерный расчет, подбирая сопротивление ПАС, что дает форму самой лучшей характеристики, которую можно ожидать. После этого можно экспериментально подобрать величину сопротивления на слух. При больших размерах ящика излучение от задней стенки будет дополнительно ослабевать за счет экранирования корпусом, что только улучшает ситуацию.

 

7.     Оформление «Ящик + труба конечной длины» , или «Онкен» по-нашему

 

   Рассмотрим трубу радиуса a и длины L на выходе которой (x=L) присутствует элемент с акустическим сопротивлением . Таким элементом, может быть, например, отверстие, сопротивление которого было рассмотрено выше. Можно показать, что акустическое сопротивление трубы по входу равно (см. Приложение)

 

где k=2p/l=w/c, l - длина волны. (Данное выражение справедливо для плоских волн, которые образуются в трубе при низких частотах не выше f = 100/a. Например, для трубы диаметром 20 см (а=10 см) модель одномерной трубы применима до частот не выше 1000 Гц [2]).

Величина Z определяет объемную скорость на входе в трубу:

.

На выходе трубы (перед элементом ) объемная скорость отличается от скорости на входе:

.

 

Приведенных выражений достаточно для расчета оформления, в котором труба имеет конечную длину. Подставляя выражение для входного значения сопротивления (Z) определяем объемную скорость в цепи динамика и на входе трубы Q, а по Q определяем объемную скорость на выходе трубы , определяющую излучение из трубы.    Такое акустическое оформление с длинной трубой, длина которой соизмерима с размером четверти длины волны, называется трансмиссионной линией. Приведенных в данной статье формул, таким образом, достаточно для расчета трансмиссионной линии с постоянным сечением. Такой расчет можно выполнить в программе Mathcad или Matlab. В литературе существуют также выражения для акустического сопротивления конической и экспоненциально расширяющейся трубы (рупора).   Мы же далее рассмотрим более простой случай, а именно учтем «конечность» длины в следующем порядке малости по параметру отношения длины трубы к длине волны излучения. Такой расчет позволяет оценить в главном порядке эффект длинной трубы.

 

Для малых, но конечных длин трубы оценить эффект конечной длины в электронном симуляторе Workbench можно, разложив тангенс в ряд и удерживая только старшие члены разложения:

   Если определяется отверстием на конце трубы, то величина мала по сравнению с Z (действительной малой частью также пренебрегаем), поэтому

и

C учетом разложения в ряд

то есть

Для гармонических колебаний умножение на частоту равносильно взятию производной по времени:

поэтому последнее выражение можно переписать в виде:

Для отверстия, пренебрегая малой действительной частью, имеем , и окончательно

,

 

На выходе трубы, разлагая в ряд , получаем

Эквивалентная схема на НЧ громкоговорителя для трубы конечной длины, таким образом, имеет вид:

 

Рис. 19 Эквивалентная схема ящика и трубы конечной длины

 

где

 

 

 

 

 

 

Пример. Динамик 6гд2 в ящике 400 литров, частота настройки резонанса труба + ящик равна 24 Гц

 

Вернемся к старому примеру. Для частоты 24 Гц требуется Las=16.3 Гн. Пусть а=15 см (площадь сечения трубы почти равна площади диффузора).  Отсюда L=0.76 м (такая длинная трубочка!). Соответственно

 

Второй коэффициент связи

Для моделирования системы собираем схему как показано на рис.20.

 

 

Рис. 20 Схема для моделирования ящик + ФИ конечной длины

 

Некоторые пояснения по схеме Рис 20:

Индуктивность 16.3 гн представляет собой Las. Далее за индуктивностью с резистора 1 ом снимается сигнал, пропорциональный току (величина Q c точкой), третья производная по времени подается на вход ключа К, напряжение которого  на выходе пропорционально входному с коэффициентом пропорциональности . Данная цепочка учитывает следующий в разложении по kL член от акустического сопротивления трубы по входу со стороны ящика.

Одновременно с резистора 1 ом снимается сигнал, пропорциональный току (Q с точкой), который подается на вход C сумматора, а на вход А сумматора подается вторая производная тока с коэффициентом пропорциональности  (-). С выхода сумматора получаем сигнал, равный объемной скорости воздуха на выходе трубы, производная которого по времени дает излучение трубы.

 

 

 

Рис. 21 АЧХ и ФЧХ с учетом конечной длины трубы

 

Полученный график АЧХ показан на рис.21 (ср. с Рис. 9). АЧХ имеет более пологий спад, чем в простой модели. (К сожалению, у Electronics Workbench не хватает точности, чтобы рассчитать реакцию на входной импульс по шагам времени: слишком много производных!  Нужен более мощный симулятор. Хотя АЧХ и ФЧХ Electronics Workbench строит, решая  уравнения для заданной частоты.)

Проведенный анализ показывает, что Онкен является более предпочтительным оформлением, чем ФИ с короткой трубой. Такое размышление наводит на мысль, что просто увеличение длины трубы порта ФИ может оказать положительный эффект на звучание нижнего регистра. Соответствующий вариант колонки показан на Рис. 21. Колонка имеет большую высоту, и труба занимает почти всю длину колонки и направлена вниз. Поскольку, в отличие от современных колонок небольшого объема, любители высококачественного звучания часто идут на построение больших колонок, то подобный вариант мог бы стать упрощенной альтернативой Онкену, или «улучшенной» версией обычного ФИ.

 

Рис. 21 ФИ с длинной вертикальной трубой, для которой имеет эффект конечности параметра отношения длины трубы к длине волны на частоте настройки.

 

 

Подведем некоторый итог сказанному. Чем же длинная труба отличается о короткой? Во первых, ее акустическое сопротивление (по входу трубы со стороны ящика) начинает зависит от частоты, что эквивалентно тому, что индуктивность на эквивалентной схеме растет с частотой:

Если такая труба имеет резонанс, совпадающей с частотой резонанса короткой трубы (в заданном объеме), то с увеличением частоты индуктивность трубы растет, что смещает частоту резонанса вниз, и уменьшает амплитуду резонанса трубы на низких частотах. С уменьшением частоты индуктивность, наоборот,  уменьшается, и резонансная частота смещается вверх. Поэтому труба оказывает сопротивление воздуху в ящике в более узком интервале частот.

Второй эффект – излучение конца трубы отличается от колебаний на ее входе.

Действие обоих факторов приводит к более гладкой АЧХ по сравнению с короткой трубой.

 

 

 

8. Заключение

 

 

Статья не содержит каких-либо принципиально новых моментов, а представляет понятный на физическом уровне экскурс в проблему и содержит понятные примеры. Показывается, как с помощью современных программ моделирования можно достаточно просто рассчитать (либо оценить – в случае с ПАС) результат. 

 

Как видно из эквивалентной схемы динамика в ЗЯ, для получения глубокого баса даже в достаточно большом объеме необходимо  высокое отношение Mms/(Ro+Ras). Очень небольшое число динамиков удовлетворяют этому требования. Это же отношение равно отношению добротности динамика в открытом пространстве к частоте резонанса.

 

Предложенный метод расчета позволяет наглядно увидеть реальные графики импульсов давления, которые  сильно отличаются от идеальных. При этом использование трубы ФИ позволяет с одной стороны частично улучшить АЧХ, но одновременно портит фазовую характеристику. Предложенный метод моделирования позволяет просто и удобно рассчитать отклик системы на произвольный импульс (в статье рассмотрен прямоугольный импульс).

 

Рассмотрен простой способ оценки оформления типа ПАС. Для этого подбором эквивалентного сопротивления оценивается наилучшая возможная характеристика, которую можно будет ожидать.

 

Предложена также математическая модель, позволяющая довольно просто в следующем порядке учесть конечную длину трубы ФИ и ее влияние на АЧХ в системах, в которых  сечение трубы велико и как следствие, при той же частоте настройки, длина трубы также велика.

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ  Вывод выражения для  акустического сопротивления трубы

 

Рис. Труба конечной длины

 

 

Рассмотрим трубу сечением S и длиной L (cм рис). Колебания малой амплитуды воздуха в трубе (возмущение давление P(x,t) и скорость воздуха v(x,t)) описываются волновым уравнением

                                          (П2.1)

 

и уравнением Эйлера [1]:

                               (П2.2)

Если S=const, то из  (П2.1):

                                 (П.2.3)

 

Общее решение уравнений имеет вид

 

                        (П.2.4) 

и

                                                (П2.5)

где константы a и b определяются из граничных условий. С учетом (П2.2) для скорости перемещения воздуха имеем

 

и поскольку , то

 

.                                 (П.2.6)

 

Предположим, что на входе трубы (x=0) давление известно, а на выходе трубы подключен другой элемент, имеющий акустическое сопротивление , то есть

                                                 (П2.7)

 

Поскольку

                                   

то граничное условие при x=0 записывается как

                           (П2.8)

Граничным условием при x=L является условие (П2.7), которое с учетом

 (П.2.4) и (П2.6) превращается в

                  (П2.9)

Решая уравнения (П2.8) и (П2.9) относительно а и b, получим:

                         (П2.10)

 

                          (П2.11)

 

Подставляя последние выражения в (П2.4), найдем искомое акустическое сопротивление трубы по входу

 

,                                (П2.12)

а из (П2.6) получаем также связь между скоростями на входе и выходе трубы:

 

                          (П.2.13)

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

 

[1] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика, т.6 «Гидродинамика», Москва, Наука, 1986 г.

 

[2] Фурдуев. Электроакустика

 

 

на главную страницу

Hosted by uCoz